Academia MGH

Integrales de Hermite

Para integrales racionales con raices complejas.

1) Pasos de la descomposición:

• Las raices reales simples se descomponen, coeficiente indeterminado entre x menos la raiz.
• Las raices reales múltiples en este caso se descomponen como si fuesen simples (sin tener en cuenta el grado de multiplicidad).
• Las raices imaginarias simples se descomponen como habitualmente.
• Las raices imaginarias múltiples, en este caso se descomponen como si fuesen simples, es decir, sin tener en cuenta su grado de multiplicidad.
• El último término característico de la descomposición de HERMITE: La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raices reales múltiples y las raices imaginarias múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno.
• A continuación se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiese resultado en el denominador.

 2) Se deriva a continuación este último término con respecto a x.

3) Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x).

4) Se multiplican ambos miembros por Q(x),

5) Se calculan los coeficientes indeterminados.

6) Se integra en la expresión de la descomposición inicial.

Nota: En la integración según la descomposición de HERMITE, si se realizó correctamente, no aparecen nunca integrales inmediatas de tipo potencial.