Examen Matemáticas Selectividad 2012

Matemáticas II Junio 2012

Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

Opción A – Ejercicio 4

Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas: I = ∫₀^π e^2x.cosx dx

 Solución:

Primero resolvemos la integral indefinida:

∫ e^2x.cosx dx = u.v – ∫v.du = e^2x. sen x – ∫2.e^2x.senx dx = (*)

Integraremos 2 veces por partes:

u = e^2x → du = 2.e^2x                        ; u = 2.e^2x → du = 4.e^2x dx

dv = cosx dx → v = sen x              ; dv = senx dx → v = -cos x

(*) I = e^2x. sen x + 2.e^2x.cosx –  ∫4.e^2x.cosx dx →

→ 5I = e^2x. sen x + 2.e^2x.cosx + C₁

→ I = (1/5).[e^2x. sen x + 2.e^2x.cosx + C₁]

Aplicando la Regla de Barrow se obtiene el valor de la definida:

I = ∫₀^π e^2x.cosx dx = (1/5).[e^2x. sen x + 2.e^2x.cosx + C₁]₀^π =

= (1/5).[e^2π.0 + 2e^2π.(-1) – 2 ] = -(1/5).(2e^2π + 2)

Bachiller Tecnológico – Mejora Curricular Nota Selectividad