Matemáticas II Junio 2012
Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado
Opción A – Ejercicio 4
Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas: I = ∫0π e2x.cosx dx
Solución:
Primero resolvemos la integral indefinida:
∫ e2x.cosx dx = u.v – ∫v.du = e2x. sen x – ∫2.e2x.senx dx = (*)
Integraremos 2 veces por partes:
u = e2x → du = 2.e2x ; u = 2.e2x → du = 4.e2x dx
dv = cosx dx → v = sen x ; dv = senx dx → v = -cos x
(*) I = e2x. sen x + 2.e2x.cosx – ∫4.e2x.cosx dx →
→ 5I = e2x. sen x + 2.e2x.cosx + C1
→ I = (1/5).[e2x. sen x + 2.e2x.cosx + C1]
Aplicando la Regla de Barrow se obtiene el valor de la definida:
I = ∫0π e2x.cosx dx = (1/5).[e2x. sen x + 2.e2x.cosx + C1]0π =
= (1/5).[e2π.0 + 2e2π.(-1) – 2 ] = -(1/5).(2e2π + 2)