Escala de Oficiales Prueba de conocimientos de Ciencias Matemáticas
Tema 1. Espacios vectoriales.
- 1.1 Definición de espacio vectorial. Propiedades. Dependencia e independencia lineal.
- 1.2 Subespacios vectoriales. Operaciones con subespacios. Sistema generador.
- 1.3 Base y dimensión de un espacio vectorial. Cambio de base. Diagonalización por Jordan.
Tema 2. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Operaciones con matrices.
- 2.1 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método de eliminación de Gauss.
- 2.2 Concepto de matriz. Tipos de matrices.
- 2.3 Rango de una matriz. Estructura de las soluciones de un sistema.
- 2.4 Aplicaciones lineales y operaciones con matrices.
- 2.5 Inversa de una aplicación lineal e inversa de una matriz.
Tema 3. Determinantes y sus aplicaciones.
- 3.1 Definición de determinante. Propiedades.
- 3.2 Determinante de un producto de matrices. Cálculo de determinantes de orden n.
- 3.3 Aplicación de los determinantes al cálculo del rango y la inversa de una matriz.
- 3.4 Regla de Cramer. Resolución de sistemas compatibles e indeterminados.
Tema 4. Número real. Número complejo. Sucesiones y series numéricas.
- 4.1 Axiomática de los números reales
- 4.2 Los números complejos y sus propiedades. Formas trigonométrica y polar. Raíces.
- 4.3 Sucesiones. Monotonía, convergencia y acotamiento. Límite de una sucesión.
- 4.4 Series. Series de términos positivos. Series alternadas. Series de términos arbitrarios. Suma de series.
Tema 5. Funciones reales de una variable real (I).
- 5.1 Tipos. Propiedades. Límites y continuidad.
- 5.2 Derivada y diferencial en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas.
- 5.3 Teoremas del valor medio. Regla de L´Hôpital. Fórmulas de Taylor y McLaurin.
- 5.4 Crecimiento y extremos. Curvatura. Asíntotas. Representación gráfica.
Tema 6. Funciones reales de una variable real (II).
- 6.1 Integral indefinida. Métodos generales de integración. Integración de funciones racionales. Integración de funciones reducibles a racionales.
- 6.2 Integral definida. Propiedades. Integrabilidad. Teorema fundamental del Cálculo. Integrales impropias. Evaluación de integrales.
- 6.3 Aplicaciones geométricas y físicas de la integral simple.
Tema 7. Funciones reales de varias variables (I).
- 7.1 Tipos. Propiedades. Límites y continuidad.
- 7.2 Derivadas parciales y direccionales. Diferenciabilidad. Derivadas y diferenciales sucesivas.
- 7.3 Fórmulas de Taylor y McLaurin. Extremos relativos. Extremos condicionados.
Tema 8. Funciones reales de varias variables (II).
- 8.1 Integral doble.
- 8.2 Integral triple.
- 8.3 Integral dependiente de un parámetro.
- 8.4 Aplicaciones geométricas y físicas de la integral múltiple.
Tema 9. Análisis vectorial.
- 9.1 Operadores diferenciales en ℜ3.
- 9.2 Integral de línea.
- 9.3 Integral de superficie.
- 9.4 Aplicaciones prácticas.
Tema 10. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
- 10.1 Ecuaciones diferenciales. Existencia y unicidad de soluciones. Problemas de condiciones iniciales.
- 10.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) en variables separadas. EDO lineal. EDO exacta. Factores integrantes.
- 10.3 Aplicaciones geométricas y físicas de las EDO.
Tema 11. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n.
- 11.1 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes. Ecuación de orden dos. Ecuación de orden n.
- 11.2 Aproximación a las ecuaciones con coeficientes variables: Ecuaciones de Cauchy-Euler y de Legendre.
- 11.3 Ecuación lineal homogénea de coeficientes variables.
- 11.4 Ecuación lineal no homogénea. Variación de constantes. Método de los Coeficientes Indeterminados.
Tema 12. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes.
- 12.1 Resolución del sistema homogéneo. Teorema de Cayley-Hamilton.
- 12.2 Resolución de sistemas. La exponencial de una matriz.
- 12.3 El método de variación de constantes.
Tema 13. Métodos numéricos.
- 13.1 Resolución de ecuaciones no lineales. Método de Newton.
- 13.2 Métodos directos e iterativos para resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel. Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. Método del gradiente.
- 13.3 Interpolación y aproximación de funciones. Interpolación de Lagrange.
- 13.4 Derivación e integración numérica. Métodos de Simpson y Gauss.
- 13.5 Métodos de resolución de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de Euler y Runge Kutta de 4.º orden.
Tema 14. Aplicaciones a la ingeniería de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
- 14.1 Vibraciones mecánicas.
- 14.2 Circuitos eléctricos con varias ramas.
- 14.3 Problemas de mezclas con varios recipientes.
- 14.4 Climatización de edificios con varias estancias.
Tema 15. Introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
- 15.1 Clasificación de las EDP.
- 15.2 Series de Fourier. Propiedades. Desarrollo de funciones periódicas.
- 15.3 Ecuación del calor. Método de separación de variables.
- 15.4 Ecuación de onda. Método de separación de variables.
- 15.5 Ecuación de Laplace. Método de separación de variables
Tema 16. Álgebra vectorial.
- 16.1 Sistemas de referencia y orientación en el espacio.
- 16.2 Vectores libres. Operaciones vectoriales: producto escalar, producto vectorial, producto mixto, doble producto vectorial.
- 16.3 Vectores deslizantes. Momento de un vector respecto a un punto. Sistemas de vectores deslizantes: resultante, momento resultante, invariante, eje central. Equivalencia y reducción de sistemas de vectores deslizantes. Sistemas particulares.
- 16.4 Funciones vectoriales. Derivación e integración. Teoría de campos aplicado a magnitudes físicas. Campos escalares y vectoriales. Gradiente del campo escalar. Circulación. Flujo. Teorema de Ostrogradsky Gauss. Teorema de Stokes. Campos conservativos y no conservativos.