Cuerpos de Ingenieros Técnicos de los Ejércitos
Prueba de conocimientos de Ciencias Matemáticas (BOE Num 14 de Miércoles 16 Enero 2002)
Tema 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones lineales. Determinantes. Matrices. Operaciones algebraicas. Producto de matrices. Matrices inversibles.
Tema 2. Transformaciones elementales de una matriz. Transformaciones por filas y columnas. Matrices elementales. Reducción de una matriz. Rango de una matriz. Aplicaciones de las transformaciones elementales: Cálculo del rango de una matriz y determinación de inversas de matrices cuadradas.
Tema 3. Sistemas de ecuaciones lineales. Expresión matricial. Solución de un sistema. Clasificación. Algoritmo de eliminación de Gauss. Criterio general de compatibilidad de un sistema lineal (teorema de Rouché-Fröbenius).
Tema 4. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades. Cálculo de determinantes por el método de Gauss. Desarrollo de un determinante por adjuntos. Determinante de un producto de matrices cuadradas.
Tema 5. Funciones. Variables y funciones. Números reales. Representación. Valor absoluto. Dominio y definición de una variable. Variable ordenada, creciente, decreciente y acotada. Formas de expresar una función. Funciones elementales y algebraicas. Tema 6. Límite y continuidad de las funciones. Límite de una variable. Límite de una función. Teoremas fundamentales sobre límites. Continuidad de las funciones. Propiedades de las funciones continuas.
Tema 7. Derivada y diferencial. Derivada de una función. Interpretación geométrica y física de la derivada. Derivada de las principales funciones. Significado geométrico de la diferencial. Derivadas de órdenes sucesivos.
Tema 8. Teoremas sobre las funciones derivables. Teorema de Lagrange. Teorema de Cauchy. Fórmulas de Taylor. Números complejos. Polinomios. Operaciones fundamentales con números complejos. Fórmula de Euler. Descomposiciones de un plinomio en factores. Raíces múltiples de un polinomio. Interpolación. Interpolación de Lagrange y Newton.
Tema 9. Integral indefinida. Función primitiva e integral indefinida. Propiedades. Integración por cambio de variable. Integración por partes. Integración de funciones trigonométricas. Integración de funciones racionales e irracionales.
Tema 10. Integral definida. Propiedades fundamentales de la integral definida. Cálculo. Fórmula de Newton-Leibniz. Cambio de variable. Integración por partes. Integrales impropias. Cálculo aproximado de las integrales definidas. Cálculo de áreas y volúmenes. Cálculo de trabajo. Cálculo del momento de inercia.
Tema 11. Integración de funciones racionales. Caso en que el numerador sea de grado igual o superior al del denominador. Descomposición en fracciones simples. Determinación de los coeficientes. Integración en el caso de que no existan raíces imaginarias múltiples. Integración en el caso de raíces imaginarias múltiples. Método de Hermite.
Tema 12. Integración de funciones irracionales. Integración de una función racional de potencias fraccionarias de la variable. Integración de una función racional de la variable y del cociente de dos binomios de primer grado de la variable elevados a potencias fraccionarias. Integrales binomias. Integral de una expresión racional de la variable y de la raíz cuadrada de un polinomio de segundo grado de la variable, por racionalización y por reducción.
Tema 13. Integración de funciones trascendentes. Integración de una función racional de una exponencial. Integración de una función racional de las funciones seno y coseno. Integración de funciones potenciales del seno y del coseno. Integración de producto de senos y cosenos. Integración de un polinomio de la variable, la función potencial de la variable y las funciones seno y coseno de ángulos múltiples de la variable.
Tema 14. Integración aproximada. Integración de funciones empíricas. Fórmulas de los trapecios. Fórmula de Simpson. El intégrafo. El planímetro.
Tema 15. Funciones de Euler. La función «gamma», de Euler. La función «beta» de Euler. Propiedades más importantes.
Tema 16. Ecuaciones diferenciales de variables separadas. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Ecuaciones diferenciales: Definiciones generales. Ecuaciones diferenciales integrables elementalmente. Ecuaciones diferenciales de variables separadas. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas. Ecuaciones diferenciales de coeficientes lineales.
Tema 17. Diferenciales exactas. Factor integrante. Integración de diferenciales exactas. Factor integrante. Multiplicidad de factores integrantes. Descomposición en suma de diferenciales exactas.
Tema 18. Ecuaciones diferenciales lineales, de Bernoulli y de Riccati. Ecuación lineal. Propiedades geométricas de la función lineal. Ecuación de Bernoulli. Ecuación de Riccati.
Tema 19. Ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales en y’. Ecuaciones diferenciales resolubles en y’. Ecuaciones diferenciales resolubles en «y» o en «x». Ecuación de Lagrange. Ecuación de Clairaut.
Tema 20. Métodos clásicos de integración de las ecuaciones diferenciales lineales. Ecuaciones diferenciales homogéneas de coeficientes constantes. Ecuación diferencial completa de coeficientes constantes. Ecuaciones de Euler.
Tema 21. La transformación de Laplace. Definición de la transformada y de la generatriz de Laplace. Propiedades. Transformada de una derivada. Transformada de una integral. Producto de transformadas. Aplicación a las ecuaciones diferenciales lineales. Aplicación a los sistemas de ecuaciones diferenciales.
Tema 22. Series de Fourier. Definición. Desarrollo de funciones periódicas. Desarrollo de funciones no periódicas. Convergencia sobre un punto. Integral de Fourier.
