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Examen Matemáticas Selectividad 2013

Matemáticas II Junio 2013

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Bachiller Tecnológico – Mejora Curricular Nota Selectividad

Examen Matemáticas Selectividad 2012

Matemáticas II Junio 2012

Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

Opción A – Ejercicio 4

Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas: I = ∫₀^π e^2x.cosx dx

 Solución:

Primero resolvemos la integral indefinida:

∫ e^2x.cosx dx = u.v – ∫v.du = e^2x. sen x – ∫2.e^2x.senx dx = (*)

Integraremos 2 veces por partes:

u = e^2x → du = 2.e^2x                        ; u = 2.e^2x → du = 4.e^2x dx

dv = cosx dx → v = sen x              ; dv = senx dx → v = -cos x

(*) I = e^2x. sen x + 2.e^2x.cosx –  ∫4.e^2x.cosx dx →

→ 5I = e^2x. sen x + 2.e^2x.cosx + C₁

→ I = (1/5).[e^2x. sen x + 2.e^2x.cosx + C₁]

Aplicando la Regla de Barrow se obtiene el valor de la definida:

I = ∫₀^π e^2x.cosx dx = (1/5).[e^2x. sen x + 2.e^2x.cosx + C₁]₀^π =

= (1/5).[e^2π.0 + 2e^2π.(-1) – 2 ] = -(1/5).(2e^2π + 2)

Bachiller Tecnológico – Mejora Curricular Nota Selectividad

Modelo Examen Matemáticas Selectividad 2012

Matemáticas Modelo 2012

Sabiendo que la función F(x) tiene derivada f(x) continua en el intervalo cerrado [2,5] y además que F(2) = 1; F(3) = 2; F(4) = 6; F(5) = 3; f(3) = 3 y f(4) = -1, hallar las siguientes integrales definidas:

a)      ∫₂⁵f(x)dx

b)      ∫₂³(5.f(x) – 7)dx

c)       ∫₂⁴F(x).f(x) dx

 Ingreso Academias Militares – Mejora Curricular Nota Selectividad

Solución:

Si F’(x) = f(x) → ∫f(x)dx = F(x) + C; Regla de Barrow: ∫_a^bf(x)dx = F(b) – F(a)

a)      ∫₂⁵f(x)dx = F(x)]₂⁵ = F(5) – F(2) = 3 – 1 = 2

b)      ∫₂³(5.f(x) – 7)dx = 5.∫₂³f(x) – ∫₂³7dx = 5.F(x)]₂³ – 7x]₂³ = 5.(F(3) – F(2)) – 7.(3 – 2) = 5 – 7 = -2

c)       ∫₂⁴F(x).f(x) dx = ∫₂⁴F(x).F’(x) dx = ½.F²(x)]₂⁴ = ½.(F²(4) – F²(2)) = 18 – ½ = 35/2

A.G.M. • A.G.A. • E.N.M. – Universidad de la Defensa

Integración: Método de Hermite

Integrales de Hermite

Para integrales racionales con raices complejas.

1) Pasos de la descomposición:

• Las raices reales simples se descomponen, coeficiente indeterminado entre x menos la raiz.
• Las raices reales múltiples en este caso se descomponen como si fuesen simples (sin tener en cuenta el grado de multiplicidad).
• Las raices imaginarias simples se descomponen como habitualmente.
• Las raices imaginarias múltiples, en este caso se descomponen como si fuesen simples, es decir, sin tener en cuenta su grado de multiplicidad.
• El último término característico de la descomposición de HERMITE: La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raices reales múltiples y las raices imaginarias múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno.
• A continuación se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiese resultado en el denominador.

 2) Se deriva a continuación este último término con respecto a x.

3) Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x).

4) Se multiplican ambos miembros por Q(x),

5) Se calculan los coeficientes indeterminados.

6) Se integra en la expresión de la descomposición inicial.

Nota: En la integración según la descomposición de HERMITE, si se realizó correctamente, no aparecen nunca integrales inmediatas de tipo potencial.

Integración por Partes

Integrales por Partes

La técnica de la integración por parte es bastante útil para encontrar integrales complejas (productos de polinomios x trigonométricas, polinomios x logarítmicas, exponenciales x trigonométricas, etc), llevándolas a integrales más sencillas. Veamos un ejemplo.

Apuntes de Cálculo : Integrales por Partes

Escala Superior de Oficiales

Apuntes de Matemáticas : Integración por Partes

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