Examen de Matemáticas Oficiales Promoción Matemáticas 2020
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Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (Madrid)
Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado
Opción A – Ejercicio 4
Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas: I = ∫0π e2x.cosx dx
Solución:
Primero resolvemos la integral indefinida:
∫ e2x.cosx dx = u.v – ∫v.du = e2x. sen x – ∫2.e2x.senx dx = (*)
Integraremos 2 veces por partes:
u = e2x → du = 2.e2x ; u = 2.e2x → du = 4.e2x dx
dv = cosx dx → v = sen x ; dv = senx dx → v = -cos x
(*) I = e2x. sen x + 2.e2x.cosx – ∫4.e2x.cosx dx →
→ 5I = e2x. sen x + 2.e2x.cosx + C1
→ I = (1/5).[e2x. sen x + 2.e2x.cosx + C1]
Aplicando la Regla de Barrow se obtiene el valor de la definida:
I = ∫0π e2x.cosx dx = (1/5).[e2x. sen x + 2.e2x.cosx + C1]0π =
= (1/5).[e2π.0 + 2e2π.(-1) – 2 ] = -(1/5).(2e2π + 2)
Sabiendo que la función F(x) tiene derivada f(x) continua en el intervalo cerrado [2,5] y además que F(2) = 1; F(3) = 2; F(4) = 6; F(5) = 3; f(3) = 3 y f(4) = -1, hallar las siguientes integrales definidas:
a) ∫25f(x)dx
b) ∫23(5.f(x) – 7)dx
c) ∫24F(x).f(x) dx
Solución:
Si F’(x) = f(x) → ∫f(x)dx = F(x) + C; Regla de Barrow: ∫abf(x)dx = F(b) – F(a)
a) ∫25f(x)dx = F(x)]25 = F(5) – F(2) = 3 – 1 = 2
b) ∫23(5.f(x) – 7)dx = 5.∫23f(x) – ∫237dx = 5.F(x)]23 – 7x]23 = 5.(F(3) – F(2)) – 7.(3 – 2) = 5 – 7 = -2
c) ∫24F(x).f(x) dx = ∫24F(x).F’(x) dx = ½.F2(x)]24 = ½.(F2(4) – F2(2)) = 18 – ½ = 35/2
Para integrales racionales con raices complejas.
1) Pasos de la descomposición:
2) Se deriva a continuación este último término con respecto a x.
3) Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x).
4) Se multiplican ambos miembros por Q(x),
5) Se calculan los coeficientes indeterminados.
6) Se integra en la expresión de la descomposición inicial.
Nota: En la integración según la descomposición de HERMITE, si se realizó correctamente, no aparecen nunca integrales inmediatas de tipo potencial.