Matemáticas II Junio 2013
Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (Madrid)
Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (Madrid)
Problema:
1. (1 punto). Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) = -sin x y el eje OX entre las abscisas x = 0 y x = 2π.
2. (1 punto). Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de f(x) = -sin x alrededor del eje OX entre las abscisas x = 0 y x = 2π.
1. Cortes con el eje de abscisas: f(x) = -sin x = 0 ; x = 0 y x = π. En el intervalo [0; 2π] hay dos recintos de integración: S1 = [0; π] y S2 = [π; 2π]
S1 = ∫0π(-sin x) dx = cos x]0π = -2
S2 = ∫π2π (-sin x) dx = cos x]π2π = 2
El área total encerrada será: S = IS1I + IS2I = 4 u2
2. Volumen de revolución: V = 2π.∫0π(-sin x)2 dx = π.∫0π(1 – cos 2x) dx = π.(x- ½.sin 2x)0π = π2 u3
Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado
Opción A – Ejercicio 4
Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas: I = ∫0π e2x.cosx dx
Solución:
Primero resolvemos la integral indefinida:
∫ e2x.cosx dx = u.v – ∫v.du = e2x. sen x – ∫2.e2x.senx dx = (*)
Integraremos 2 veces por partes:
u = e2x → du = 2.e2x ; u = 2.e2x → du = 4.e2x dx
dv = cosx dx → v = sen x ; dv = senx dx → v = -cos x
(*) I = e2x. sen x + 2.e2x.cosx – ∫4.e2x.cosx dx →
→ 5I = e2x. sen x + 2.e2x.cosx + C1
→ I = (1/5).[e2x. sen x + 2.e2x.cosx + C1]
Aplicando la Regla de Barrow se obtiene el valor de la definida:
I = ∫0π e2x.cosx dx = (1/5).[e2x. sen x + 2.e2x.cosx + C1]0π =
= (1/5).[e2π.0 + 2e2π.(-1) – 2 ] = -(1/5).(2e2π + 2)
Para integrales racionales con raices complejas.
1) Pasos de la descomposición:
2) Se deriva a continuación este último término con respecto a x.
3) Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x).
4) Se multiplican ambos miembros por Q(x),
5) Se calculan los coeficientes indeterminados.
6) Se integra en la expresión de la descomposición inicial.
Nota: En la integración según la descomposición de HERMITE, si se realizó correctamente, no aparecen nunca integrales inmediatas de tipo potencial.
La técnica de la integración por parte es bastante útil para encontrar integrales complejas (habitualmente productos de funciones que no tiene nada llevándolas a integrales más sencillas. Esta técnica se basa en la derivada de un producto.
Los tipos de integrales por partes mas comunes son productos «polinomio.trigonometrica», «logaritmo. polinomio», «exponencial.trigonmétrica», «polinomio.exponencial», «inversa de trigonométrica», etc..
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