Matematicas Selectividad Madrid

Examen de Selectividad Septiembre 2011 – Matemáticas II – Madrid

Prueba de Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

Problema:

1. (1 punto). Hallar el  área del recinto limitado por la gráfica de f(x) = -sin x y el eje OX entre las abscisas x = 0 y x = 2π.

2. (1 punto). Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de f(x) = -sin x alrededor del eje OX entre las abscisas x = 0 y x = 2π.

Mejora Curricular Nota de Selectividad: INFÓRMATE AHORA 

Solución:

1. Cortes con el eje de abscisas: f(x) = -sin x = 0 ; x = 0 y x = π. En el intervalo [0; 2π] hay dos recintos de integración: S1 = [0; π] y S2 = [π; 2π]

S1 = ∫0π(-sin x) dx = cos x]0π  = -2

S2 = ∫π (-sin x) dx = cos x]π = 2

El área total encerrada será: S = IS1I + IS2I = 4 u2

2. Volumen de revolución: V = 2π.∫0π(-sin x)2 dx = π.∫0π(1 – cos 2x) dx = π.(x- ½.sin 2x)0π = π2 u3

Preparación Ingreso en las Escalas de Oficiales Academias Generales

Matematicas Selectividad Madrid 2012

Examen de Selectividad Junio 2012 – Matemáticas II – Madrid

Prueba de Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

Ejercicio 1 (Opción B): Dadas las funciones: f(x) = [3x + ln(x +1)]/√(x2 – 3); g(x) = (lnx)x, h(x) = sen(π – x). Se pide:

a)      (1 punto) Hallar el dominio de f(x) y el limx→∞f(x)

b)      (1 punto) Calcular g’(e)

c)       (1 punto) Calcular, en el intervalo (0, 2π), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y  las coordenadas de los extremos relativos de h(x)

Mejora Curricular Nota de Selectividad: INFÓRMATE AHORA 

Resolución (c): los demás apartados, se dejan para el alumno

Dado que h(x) = sen(π – x) y que sen θ = 0 si θ = 0º o θ = π rad, se tiene que:

π – x = 0 → x = π

π – x = π → x = 0

Coordenadas de corte con el eje de abscisas h(x) = 0, son (0, 0) y (π, 0)

Extremos relativos:

h’(x) = -cos (π – x) = 0 → x = π/2, x = 3π/2

h”(x) = -sen (π – x)

Sustituyendo:

h”(π/2) = -1 < 0, hay un máximo relativo en (x, y) = (π/2, 1)

h”(3π/2) = +1 > 0, hay un mínimo relativo en (x, y) = (3π/2, -1)

Preparación Ingreso en las Escalas de Oficiales Academias Generales

Matematicas Selectividad Madrid 2012

Examen de Selectividad Junio 2012 – Matemáticas II – Madrid

Prueba de Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

Ejercicio 1 (Opción B): Dadas las funciones: f(x) = [3x + ln(x +1)]/√(x2 – 3); g(x) = (lnx)x, h(x) = sen(π – x). Se pide:

a)      (1 punto) Hallar el dominio de f(x) y el limx→∞f(x)

b)      (1 punto) Calcular g’(e)

c)       (1 punto) Calcular, en el intervalo (0, 2π), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y  las coordenadas de los extremos relativos de h(x)

Mejora Curricular Nota de Selectividad: INFÓRMATE AHORA 

Resolución (b): los demás apartados, se dejan para el alumno

Tomando logaritmos Ln(g(x)) = x.ln(ln x), y derivamos en implícitas:

g’(x)/g(x) = ln(ln x) + x.(1/ln x).(1/x)

Como g(x) = (lnx)x, se tiene que g’(x) = (lnx)x.[ ln(ln x) + (1/ln x)]

Preparación Ingreso en las Escalas de Oficiales Academias Generales

Matematicas Selectividad Madrid 2012

Selectividad Junio 2012 – Matemáticas II – Madrid

Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

Ejercicio 1: Dadas las funciones: f(x) = [3x + ln(x +1)]/√(x2 – 3); g(x) = (lnx)x, h(x) = sen(π – x). Se pide:

a)      (1 punto) Hallar el dominio de f(x) y el limx→∞f(x)

b)      (1 punto) Calcular g’(e)

c)       (1 punto) Calcular, en el intervalo (0, 2π), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y  las coordenadas de los extremos relativos de h(x)

Mejora Curricular Nota de Selectividad: INFÓRMATE AHORA 

Resolución (a): los demás apartados, se dejan para el alumno

Por tener ln(x +1) → (x +1) > 0 → x > -1

Por tener √(x2 – 3) y en el denominador → (x2 – 3) > 0 → x > √3; x < -√3

Dominio: en conjunto, (-√3, -1) U (√3, +∞)

limx→∞ f(x) = limx→∞ [3x + ln(x +1)]/√(x2 – 3) es una indeterminación del tipo (∞/∞).

Aplicamos la Regla de L’Hôpital, derivando numerador y denominador:

limx→∞ f(x) = limx→∞ [3 + 1/(x + 1)]/[x/√(x2 – 3)] = 3/1 = 3

Preparación Ingreso en las Escalas de Oficiales Academias Generales

Límites – Indeterminaciones

Cálculo : Indeterminación ∞ – ∞

Si tenemos una resta de raíces cuadradas, multiplicamos y dividimos por el conjugado, para quitar raíces. Mira el siguiente ejemplo, perteneciente a las pruebas de ingreso para la Escala de Oficiales por acceso directo.

limites

Cálculo de Límites por L`Hopital

Regla de L`Hopital para el Cálculo de Límites

En indeterminaciones tipo ‘0/0’; ‘infinito/infinito’ o ‘infinito – infinito’, puede aplicarse esta regla, de forma que lim f(x)/g(x) = lin f`(x)/g`(x). Esta regla nos permite reemplazar un límite por otro que puede ser mas sencillo.

Mira el siguiente ejemplo: