Examen Matemáticas Selectividad 2013

Matemáticas II Junio 2013

Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (Madrid)

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Examen Matemáticas Selectividad 2012

Matemáticas II Junio 2012

Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (Madrid)

Opción A – Ejercicio 2

Dados los puntos P1(1; 3;−1), P2(a; 2; 0), P3(1; 5; 4) y P4(2; 0; 2), se pide:

a) (1 punto) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano.

b) (1 punto) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vértices en P1, P2, P3 ,P4 tenga volumen igual a 7.

c) (1 punto) Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de P1 y de P3.

Solución (apartado b)

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Examen Matemáticas Selectividad 2012

Matemáticas II Junio 2012

Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (Madrid)

Opción A – Ejercicio 3

Hallar a; b; c de modo que la función f(x) = x3 + ax2 + bx + c, alcance en x = 1 un máximo relativo de valor 2, y tenga en x = 3 un punto de inflexión.

Solución:

El punto extremo local dado de la función es: f(x=1) = 2

Sustituyendo en f(x) → 2 = 1 + a + b + c → 1 = a + b + c (I)

f(x) alcanza un máximo relativo en x=1, luego: f’(x=1) = 0

Derivando: f’(x) = 3x2 + 2ax + b = 0 → 0 = 3 + 2a + b (II)

f(x) tiene un punto de inflexión en x=3, luego: f’’(x=3) = 0

Derivando: f’(x) = 6x + 2a = 0 → 0 = 18 + 2a  → a = -9

Sustituyendo en (II) y en (I) → b = 15; c = -5

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Opción A – Ejercicio 4

Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas: I = ∫0π e2x.cosx dx

 Solución:

Primero resolvemos la integral indefinida:

∫ e2x.cosx dx = u.v – ∫v.du = e2x. sen x – ∫2.e2x.senx dx = (*)

Integraremos 2 veces por partes:

u = e2x → du = 2.e2x                        ; u = 2.e2x → du = 4.e2x dx

dv = cosx dx → v = sen x              ; dv = senx dx → v = -cos x

(*) I = e2x. sen x + 2.e2x.cosx –  ∫4.e2x.cosx dx →

→ 5I = e2x. sen x + 2.e2x.cosx + C1

→ I = (1/5).[e2x. sen x + 2.e2x.cosx + C1]

Aplicando la Regla de Barrow se obtiene el valor de la definida:

I = ∫0π e2x.cosx dx = (1/5).[e2x. sen x + 2.e2x.cosx + C1]0π =

= (1/5).[e.0 + 2e.(-1) – 2 ] = -(1/5).(2e + 2)

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Opción A – Ejercicio 3

Hallar a, b, c de modo que la función f(x) = x3 + a.x2 + b.x + c alcance en x = 1 un máximo relativo de valor 2, y tenga en x = 3 un punto de inflexión.

Solución:

Para la abscisa x = 1, la ordenada es y = 2, luego: f(x = 1) = 2; 1 + a + b + c = 2 (♦♦)

Por tener un máximo relativo en x = 1, f’(x = 1) = 0, f’(x) = 3.x2 + 2.a.x + b; 3 + 2.a + b = 0 (♦)

Por tener un punto de inflexión en x = 3, f’’(x = 3) = 0; f’’(x) = 6.x + 2.a; luego 18 + 2.a = 0, a = -9

Sustituyendo en (♦), b = 15; y en (♦♦) c = -5

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