Matematicas Selectividad Madrid

Examen de Selectividad Septiembre 2011 – Matemáticas II – Madrid

Prueba de Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

Problema:

1. (1 punto). Hallar el  área del recinto limitado por la gráfica de f(x) = -sin x y el eje OX entre las abscisas x = 0 y x = 2π.

2. (1 punto). Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de f(x) = -sin x alrededor del eje OX entre las abscisas x = 0 y x = 2π.

Mejora Curricular Nota de Selectividad: INFÓRMATE AHORA 

Solución:

1. Cortes con el eje de abscisas: f(x) = -sin x = 0 ; x = 0 y x = π. En el intervalo [0; 2π] hay dos recintos de integración: S1 = [0; π] y S2 = [π; 2π]

S1 = ∫0π(-sin x) dx = cos x]0π  = -2

S2 = ∫π (-sin x) dx = cos x]π = 2

El área total encerrada será: S = IS1I + IS2I = 4 u2

2. Volumen de revolución: V = 2π.∫0π(-sin x)2 dx = π.∫0π(1 – cos 2x) dx = π.(x- ½.sin 2x)0π = π2 u3

Preparación Ingreso en las Escalas de Oficiales Academias Generales

Matematicas Selectividad Madrid 2012

Examen de Selectividad Junio 2012 – Matemáticas II – Madrid

Prueba de Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

Ejercicio 1 (Opción B): Dadas las funciones: f(x) = [3x + ln(x +1)]/√(x2 – 3); g(x) = (lnx)x, h(x) = sen(π – x). Se pide:

a)      (1 punto) Hallar el dominio de f(x) y el limx→∞f(x)

b)      (1 punto) Calcular g’(e)

c)       (1 punto) Calcular, en el intervalo (0, 2π), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y  las coordenadas de los extremos relativos de h(x)

Mejora Curricular Nota de Selectividad: INFÓRMATE AHORA 

Resolución (c): los demás apartados, se dejan para el alumno

Dado que h(x) = sen(π – x) y que sen θ = 0 si θ = 0º o θ = π rad, se tiene que:

π – x = 0 → x = π

π – x = π → x = 0

Coordenadas de corte con el eje de abscisas h(x) = 0, son (0, 0) y (π, 0)

Extremos relativos:

h’(x) = -cos (π – x) = 0 → x = π/2, x = 3π/2

h”(x) = -sen (π – x)

Sustituyendo:

h”(π/2) = -1 < 0, hay un máximo relativo en (x, y) = (π/2, 1)

h”(3π/2) = +1 > 0, hay un mínimo relativo en (x, y) = (3π/2, -1)

Preparación Ingreso en las Escalas de Oficiales Academias Generales

Matematicas Selectividad Madrid 2012

Examen de Selectividad Junio 2012 – Matemáticas II – Madrid

Prueba de Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

Ejercicio 1 (Opción B): Dadas las funciones: f(x) = [3x + ln(x +1)]/√(x2 – 3); g(x) = (lnx)x, h(x) = sen(π – x). Se pide:

a)      (1 punto) Hallar el dominio de f(x) y el limx→∞f(x)

b)      (1 punto) Calcular g’(e)

c)       (1 punto) Calcular, en el intervalo (0, 2π), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y  las coordenadas de los extremos relativos de h(x)

Mejora Curricular Nota de Selectividad: INFÓRMATE AHORA 

Resolución (b): los demás apartados, se dejan para el alumno

Tomando logaritmos Ln(g(x)) = x.ln(ln x), y derivamos en implícitas:

g’(x)/g(x) = ln(ln x) + x.(1/ln x).(1/x)

Como g(x) = (lnx)x, se tiene que g’(x) = (lnx)x.[ ln(ln x) + (1/ln x)]

Preparación Ingreso en las Escalas de Oficiales Academias Generales

Matematicas Selectividad Madrid 2012

Selectividad Junio 2012 – Matemáticas II – Madrid

Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

Ejercicio 1: Dadas las funciones: f(x) = [3x + ln(x +1)]/√(x2 – 3); g(x) = (lnx)x, h(x) = sen(π – x). Se pide:

a)      (1 punto) Hallar el dominio de f(x) y el limx→∞f(x)

b)      (1 punto) Calcular g’(e)

c)       (1 punto) Calcular, en el intervalo (0, 2π), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y  las coordenadas de los extremos relativos de h(x)

Mejora Curricular Nota de Selectividad: INFÓRMATE AHORA 

Resolución (a): los demás apartados, se dejan para el alumno

Por tener ln(x +1) → (x +1) > 0 → x > -1

Por tener √(x2 – 3) y en el denominador → (x2 – 3) > 0 → x > √3; x < -√3

Dominio: en conjunto, (-√3, -1) U (√3, +∞)

limx→∞ f(x) = limx→∞ [3x + ln(x +1)]/√(x2 – 3) es una indeterminación del tipo (∞/∞).

Aplicamos la Regla de L’Hôpital, derivando numerador y denominador:

limx→∞ f(x) = limx→∞ [3 + 1/(x + 1)]/[x/√(x2 – 3)] = 3/1 = 3

Preparación Ingreso en las Escalas de Oficiales Academias Generales

Matematicas Selectividad Pre-Militar

Selectividad Junio 2009 – Matemáticas II – Madrid

Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

Calcular la integral: F(x) = ∫0x t2.et.dt

Resolución:

La integral indefinida es una integral por partes tipo ∫”polinomio”x”exponencial”

u = t2 → du = 2t.dt   •   dv = e-t → v = -e-t

∫u.dv = u.v – ∫v.du = t2.(-e-t) –  ∫(-e-t).2t.dt = -t2.(e-t) + 2∫e-t.t.dt = (*)

u = t → du = 1   •   dv = e-t → v = -e-t

(*) = -t2.(e-t) + 2[t.(-e-t) – ∫(-e-t)dt] = -t2.(e-t) – 2t.(-e-t) – 2.e-t + C = e-t.(t2 + 2t + 2) + C

Regla de Barrow (integral definida):

0x t2.et.dt = [e-t.(t2 + 2t + 2) + C]0x = [e-x.(x2 + 2x + 2)] – [e-0.(02 + 2.0 + 2)] = …

…. = 2 – e-x.(x2 + 2x + 2)

Academias Militares: Mejora Curricular Nota de Selectividad

Física Selectividad 2011

Física 2011 – Selectividad – Madrid

Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

OPCIÓN ACuestión 1. Calificación máxima 2 puntos.

Un satélite que gira con la misma velocidad angular que la Tierra (geoestacionario) de masa m=5×103 kg, describe una órbita circular de radio r=3,6×107 m. Dato: Periodo de rotación terrestre= 24 h. Determine:

a) La velocidad areolar del satélite.

b) Suponiendo que el satélite describe su órbita en el plano ecuatorial de la Tierra, determine el módulo, la dirección y el sentido del momento angular respecto de los polos de la Tierra.

Mejora Curricular Oficiales A.D. Aprueba o Sube tu Nota de Selectividad

SOLUCIÓN:

a) De acuerdo a 2ª Ley de Kepler, como la órbita es circular se trata de un MCU y vO = ω.r, luego:

vAR = L/2m = cte = r.m.vO/2m = ½.r.vO = ½.r.vO = ½.r.(ω.r) = ½.ω.r2 = ½.(2π/T).r2 = π.r2/T → sustituyendo:  vAR =  π.( 3,6×107)2/(24.3600) = 4,71.1010 m2/s (cte) ¡es la velocidad con la que barre áreas el radio vector Tierra-satélite.

b) Vectorialmente: L = r X m.v;

Módulo: ILI = r.m.v.sen 90º = r.m.v = 3,6×107. 5×103. 4,71.1010 = 8,48.1021 Lg.m2.s-1

Dirección y sentido: L es perpendicular a r y v, según la regla de la mano derecha (ver fig)

Matematicas Selectividad 2010

Selectividad 2010 – Matemáticas II – Madrid

Acceso a las Enseñanzas Universitarias de Grado

OPCIÓN AEjercicio 4. Calificación máxima 2 puntos.

Dada la función f(x) = Ln (x2 + 4x – 5), donde Ln significa logaritmo neperiano, se pide:

a) (1 punto) Determinar el dominio de definición de f(x) y las asíntotas verticales de su gráfica.
b) (1 punto) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).

Resolución Academia MGH:

a)      El argumento del logaritmo debe ser positivo, así que:
x2 + 4x – 5 = 0 → x = 1 y x = -5
f(x) = Ln (x2 + 4x – 5) = Ln [(x-1).(x + 5)] → Dominio (- ∞, -5) U (1, +∞)
Asíntotas verticales: x = 1 y x = -5 (basta tomar límites para comprobarlo)

b)      f’(x) = (2x + 4)/(x2 + 4x – 5) = 0 → x = -2 (está fuera del dominio)
Por lo que:
y’ < 0 en (- ∞, -5) ← estrictamente creciente
Y’ > 0 en (1, +∞) ← estrictamente creciente

Aprueba o Sube tu Nota de Selectividad