Examen Matemáticas Selectividad 2012

Matemáticas II Junio 2012

Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (Madrid)

Opción A – Ejercicio 2

Dados los puntos P1(1; 3;−1), P2(a; 2; 0), P3(1; 5; 4) y P4(2; 0; 2), se pide:

a) (1 punto) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano.

b) (1 punto) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vértices en P1, P2, P3 ,P4 tenga volumen igual a 7.

c) (1 punto) Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de P1 y de P3.

Solución (apartado b)

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Examen Matemáticas Selectividad 2012

Matemáticas II Junio 2012

Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (Madrid)

Opción A – Ejercicio 3

Hallar a; b; c de modo que la función f(x) = x3 + ax2 + bx + c, alcance en x = 1 un máximo relativo de valor 2, y tenga en x = 3 un punto de inflexión.

Solución:

El punto extremo local dado de la función es: f(x=1) = 2

Sustituyendo en f(x) → 2 = 1 + a + b + c → 1 = a + b + c (I)

f(x) alcanza un máximo relativo en x=1, luego: f’(x=1) = 0

Derivando: f’(x) = 3x2 + 2ax + b = 0 → 0 = 3 + 2a + b (II)

f(x) tiene un punto de inflexión en x=3, luego: f’’(x=3) = 0

Derivando: f’(x) = 6x + 2a = 0 → 0 = 18 + 2a  → a = -9

Sustituyendo en (II) y en (I) → b = 15; c = -5

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