Matemáticas II Junio 2013
Prueba Acceso a las Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (Madrid)
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Opción A – Ejercicio 2
Dados los puntos P1(1; 3;−1), P2(a; 2; 0), P3(1; 5; 4) y P4(2; 0; 2), se pide:
a) (1 punto) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano.
b) (1 punto) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vértices en P1, P2, P3 ,P4 tenga volumen igual a 7.
c) (1 punto) Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de P1 y de P3.
Solución (apartado b)
a) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f (x) = -sen x y el eje OX entre las abscisas x = 0 y x = 2π.
b) Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de f (x) = -sen x alrededor del eje OX entre las abscisas x = 0 y x = 2π.
Soluciones
a) El área esta formada por dos regiones simétricas de distinto signo. Para calcular el área dividiremos la integral en dos por el punto de corte del eje X.
A = I∫0π(-senx)dxI + ∫π2π(-senx)dx = 2.∫π2π(-senx)dx = 2.[ cos x] π2π = 2 – (-2) = 4 unidades cuadradas
b) El volumen de revolución al hacer girar f(x) entre a y b alrededor del eje OX viene dado por:
V = ∫ab π.[f(x)]2dx= ∫02π π(senx)2.dx = π.∫02π sen2x.dx = π.∫02π ½.(1 – cos 2x).dx = ½.π.[x – ½.sen 2x]02x = ½.π.(2π – 0) = π2 u3
Preparación para el Ingreso en los Centros Universitarios de la Defensa – Selectividad
Tests de muestra sobre áreas, perímetros, volúmenes y figuras geométricas. Solo una opción es correcta.
Preparación para el Ingreso como Militar – Soldado Profesional
A continuación se le proponen algunas figuras geométricas elementales, de las que se proporciona algún dato. Usted deberá averiguar en cada caso la incógita que se le pida.
De interés: ¡Abiertos Grupos de Preparación para Ciclos Selección Tropa y Marinería 2012!