Cuerpos de Ingenieros de los Ejércitos
Prueba de conocimientos de Ciencias Matemáticas (BOE Num 14 de Miércoles 16 Enero 2002)
Tema 1. Matrices. Cálculo con matrices. Determinantes. Matrices. Operaciones con matrices. Determinantes. Propiedades. Multiplicación y transposición de matrices. Matriz inversa. Regla de Cramer.
Tema 2. Teorema de Rouché-Fróbenius. Rango de una matriz. Cálculo del rango. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Teorema de Rouché-Fróbenius.
Tema 3. Números reales y complejos. Polinomios. Números racionales o irracionales. Representación. Valor absoluto. Números complejos. Fórmulas trigonométricas y módulo argumental de representación. Fórmula de Euler. Operaciones con números complejos. Raíces, potencias y logaritmos de números complejos. Polinomios reales y complejos. Interpolación. Métodos de interpolación de Lagrange y Newton.
Tema 4. Sucesiones y series numéricas. Sucesiones de números reales. Límites. Series de números reales. Series de términos positivos. Principales criterios de convergencia. Suma de los tipos fundamentales de series. Convergencia absoluta. Cálculo aproximado de la suma de una serie.
Tema 5. Funciones. Funciones de una o varias variables reales. Límites. Teoremas fundamentales sobre límites. Continuidad. Funciones continuas. Propiedades de las funciones continua.
Tema 6. Derivación y diferenciación de funciones. Concepto de derivada y diferencial de una función de una variable. Propiedades. Cálculo de derivadas. Interpretación geométrica. Teoremas del valor medio. Regla de L’Hôpital. Fórmula de Taylor. Derivadas parciales de una función de varias variables. Diferenciales de funciones de dos y de más variables. Estudio local de la gráfica de una función (extremos relativos, concavidad, convexidad, inflexión).
Tema 7. Integral indefinida e integral definida. Concepto de integral de Riemann-Stieltges. Propiedades. Idea de integral múltiple. Integral indefinida.
Tema 8. Métodos generales de integración. Integración inmediata. Integración por sustitución. Integración por descomposición en sumandos. Integración por partes. Integración por reducción. Integración por derivación respecto a un parámetro.
Tema 9. Integración de funciones racionales. Caso en que el numerador sea de grado igual o superior al del denominador. Descomposición en fracciones simples. Determinación de los coeficientes. Integración en el caso de que no existan raíces maginarias múltiples. Integración en el caso de raíces imaginarias múltiples. Método de Hermite.
Tema 10. Integración de funciones irracionales. Integración de una función racional de potencias fraccionarias de la variable. Integración de una función racional de la variable y del cociente de dos binomios de primer grado de la variable elevados a potencias fraccionarias. Integrales binomias. Integral de una expresión racional de la variable y de la raíz cuadrada de un polinomio de segundo grado de la variable, por racionalización y por reducción.
Tema 11. Integrales elípticas. Definición. Transformación del polinomio subradical. Reducción de las integrales elípticas. Reducción a los tipos de Legendre. Tablas de integrales elípticas. Las funciones elípticas sn, cn y dn. Periodicidades y simetrías de las funciones de Legendre.
Tema 12. Integración de funciones trascendentes. Integración de una función racional de una exponencial. Integración de una función racional de las funciones seno y coseno. Integración de funciones potenciales del seno y del coseno. Integración de producto de senos y cosenos. Integración de un polinomio de la variable, la función potencial de la variable y las funciones seno y coseno de ángulos múltiples de la variable.
Tema 13. Integración por series. Desarrollo de una integral por serie de Taylor y Mac-Laurin. Convergencia uniforme. Continuidad de la función definida por una serie uniformemente convergente. Integrabilidad término a término de una serie uniformemente convergente. Criterio de convergencia uniforme. Desarrollo en serie de integrales elípticas. Convergencia de las series potenciales.
Tema 14. Integración aproximada. Integración de funciones empíricas. Fórmulas de los trapecios y de Poncelet. Fórmula de Simpson. Método de Newton-Côtes. El intégrafo. El planímetro.
Tema 15. Integrales dependientes de un parámetro. Definición. Continuidad, derivación e integración. Caso en que los límites de la integral dependan del parámetro. Aplicación al caso de integrales definidas.
Tema 16. Integrales curvilíneas. Definición y propiedades. Función potencial: Existencia y cálculo.
Tema 17. Integrales dobles. Definición. Propiedades. Fórmula de Riemann. Cambio de variables.
Preparación Ingreso Escala Técnica y Oficiales Cuerpo de Ingenieros
Tema 18. Integrales triples y múltiples. Definición. Propiedades. Aplicaciones. Cambio de variables.
Tema 19. Integrales de superficie. Área de una superficie. Integral de superficie. Fórmula de Stokes. Fórmula de Ostrogradski-Gauss.
Tema 20. Integrales múltiples. Integrales múltiples generalizadas. Clasificación y tratamiento elemental.
Tema 21. Funciones de Euler. La función «gamma» de Euler. La función «beta» de Euler. Propiedades más importantes.
Tema 22. Ecuaciones diferenciales. Definiciones generales. Ecuación diferencial de un haz de curvas planas. Haz integral de una ecuación diferencial de primer orden. Imagen geométrica de una ecuación diferencial. Polígonos de Euler. Curvas isoclinas. Métodos de aproximaciones sucesivas de Picard.
Tema 23. Ecuaciones diferenciales de variables separadas. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Ecuaciones diferenciales integrables elementalmente. Ecuaciones diferenciales de variables separadas. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas. Ecuaciones diferenciales de coeficientes lineales.
Tema 24. Diferenciales exactas. Factor integrante. Integración de diferenciales exactas. Factor integrante. Multiplicidad de factores integrantes. Descomposición en suma de diferenciales exactas.
Tema 25. Ecuaciones diferenciales lineales, de Bernoulli y Riccati. Ecuación lineal. Propiedades geométricas de la función lineal. Ecuación de Bernoulli. Ecuación de Riccati.
Tema 26. Ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales en y’. Ecuaciones diferenciales resolubles en y’. Ecuaciones diferenciales resolubles en «y» o en «x». Ecuación de Lagrange. Ecuación de Clairaut.
Tema 27. Ecuaciones diferenciales de orden superior al primero. Generalidades sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Génesis de las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Familia de curvas con dos parámetros. Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente a una ecuación diferencial de segundo orden: Método de Picard. Ecuaciones diferenciales de orden «n»: Sistema equivalente. Ecuaciones cuyo orden puede rebajarse. Ecuaciones homogéneas en y, y’… y”.
Tema 28. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Propiedades generales de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Propiedades del operador primer miembro. Combinación lineal de soluciones de la ecuación incompleta. Condición de dependencia lineal. Expresión de la integral general. Método de variación de las constantes. Determinación de las constantes de integración mediante condiciones iniciales. Aplicación del método de variación de las constantes cuando se conoce un número insuficiente de integrales particulares de la ecuación incompleta. Fórmula de Liouville.
Tema 29. Métodos clásicos de integración de las ecuaciones diferenciales lineales. Ecuaciones diferenciales homogéneas de coeficientes constantes. Ecuación diferencial completa de coeficientes constantes. Ecuaciones de Euler.
Tema 30. Métodos fundados en el manejo algebraico del operador D. Generalidades. Propiedad asociativa y conmutativa de los operadores P(D) de coeficientes constantes. Permutación de P(D) con un factor exponencial. Integración de las ecuaciones diferenciales homogéneas. Integración de las ecuaciones diferenciales completas cuyo segundo miembro es de la forma p(x)erx. Integración de las ecuaciones diferenciales completas en el caso general.
Tema 31. Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes periódicos. Generalidades. Ecuación diferencial de segundo orden lineal homogénea de coeficientes periódicos. Soluciones periódicamente progresivas: Factores característicos. Estudio cualitativo de las soluciones: Estabilidad. Generalización a ecuaciones de orden n. Invariancia y formación de la ecuación característica. Ecuaciones diferenciales de segundo orden sin la derivada primera.
Tema 32. Integración por series. Funciones de Hermite, Legendre y Bessel. Generalidades. Métodos de coeficientes indeterminados. Aplicación a la ecuación de Hermite. Método de Fröbenius: Aplicación a la ecuación de Legendre. Ecuación de Bessel. Funciones de Bessel de primera especie. Funciones de Bessel de segunda especie.
Tema 33. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Generalidades. Sistemas lineales. Sistema que satisface una congruencia de curvas. Integración de los sistemas de primer orden. Reducción a una ecuación por eliminación. Generalización a más de dos funciones: Integrales primeras. Generalización a sistemas de orden superior. Integración de los sistemas lineales. Integración de los sistemas homogéneos de coeficientes constantes. Método de variación de las constantes.
Tema 34. La transformación de Laplace. Definición de la transformada y de la generatriz de Laplace. Propiedades. Transformada de una derivada. Transformada de una integral. Producto de transformadas. Aplicación a las ecuaciones diferenciales lineales. Aplicación a los sistemas de ecuaciones diferenciales.
Tema 35. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden lineales. Generación de superficies: Ecuación funcional. Ecuación diferencial de una familia de superficies. Integración de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales de primer orden. Caso particular de las ecuaciones homogéneas. Generalización a más de dos variables independientes.
Tema 36. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden no l i n e a l e s . I n t e g r a b i l i d a d de X (x,y,z) dx + Y (x,y,z) dy + Z (x,y,z) dz = 0. Integración de X (x,y,z) dx + Y (x,y,z) dy + Z (x,y,z) dz = 0. Casos particulares. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales obtenidas por eliminación de constantes arbitrarias. Método de Lagrange-Charpit para obtener una integral completa. Integral general y singular.
Tema 37. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de orden superior al primero. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes. Ecuaciones diferenciales lineales completas de coeficientes constantes. Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables.